Đồ thị tham số hoá theo dấu tia của dải MobiusĐể biến một hình chữ nhật thành một dải Mobius, cần ghép các cạnh A theo chiều mũi tên như hình vẽ

Mặt Mobius là một tập con chính tắc trong R3 có được bằng cách tham số hoá:

x ( u , v ) = ( 1 + 1 2 v cos ⁡ 1 2 u ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\textstyle \left(1+{\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}u\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + 1 2 v cos ⁡ 1 2 u ) sin ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\textstyle \left(1+{\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}u\right)\sin u} z ( u , v ) = 1 2 v sin ⁡ 1 2 u {\displaystyle z(u,v)=\textstyle {\frac {1}{2}}v\sin {\frac {1}{2}}u}

trong đó 0 ≤ u < 2π và −1 ≤ v ≤ 1. Công thức này cho ta dải Mobius có chiều rộng 1 đơn vị, vòng có bán kính 1 nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy với tâm đặt tại gốc tọa độ (0, 0, 0). Biến u thay đổi vòng quanh dải mobius trong khi v thay đổi chạy vòng quanh biên.

Trong toạ độ cầu (r, θ, z), dải Möbius mở không biên được biểu diễn bằng công thức sau:

log ⁡ ( r ) sin ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) . {\displaystyle \log(r)\sin \left({\frac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\frac {1}{2}}\theta \right).}

Dải Mobius chữ nhật đầy trong không gian 3 chiều

• Nếu một dải Mobius trơn trong không gian ba chiều được gọi là một dải Mobius dạng chữ nhật - thì nó phải được tạo ra từ việc đồng nhất hai cạnh đối diện của một hình chữ nhật – điều này xảy ra nếu tỉ lệ độ dài của hình chữ nhật lớn hơn căn bậc hai 3. (Lưu ý rằng đây là tỉ lệ với độ dài cạnh bên ngắn hơn của hình chữ nhật – tức chiều rộng). Do vậy, nếu tỉ lệ này nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của 3, một nhúng trơn của một dải Mobius chữ nhật trong không gian 3 chiều sẽ không xảy ra.
• Nếu tỉ lệ độ dài tiến tới giới hạn tỉ lệ của 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} theo chiều giảm dần, bất kỳ dải Mobius chữ nhật trong không gian 3 chiều dường như đều tiến đến một hình dạng trong giới hạn có thể được coi như một dải của ba tam giác đều, nếu ta gấp đỉnh của một trong số chúng xuống sẽ tạo được một hình tam giác đều trong không gian 3 chiều.
• Nếu có dải Mobius trong không gian 3 chiều thì nó chỉ có khả vi liên tục cấp 1 (ký hiệu là: C1), tuy nhiên, sau này các định lý của Nash-Kuiper cho thấy rằng không tồn tại giới hạn dưới của dải Mobius.

Hình học Topo

Trong topo, dải Mobius được định nghĩa giống như hình vuông [0,1] × [0,1] với dòng đầu của và dòng dưới được xác định bởi quan hệ (x, 0) ~ (1 − x, 1) với 0 ≤ x ≤ 1, như trong sơ đồ bên phải.

Một bài viết ít được sử dụng của dải Mobius là thương quỹ đạo đa tạp của một xuyến.[5]. Một hình xuyến có thể được xây dựng như hình vuông [0,1] × [0,1] với các cạnh được xác định là (0,y) ~ (1,y) (nối từ trái sang phải) và (x,0) ~ (x,1) (nối từ dưới lên trên).

Nếu nó cũng được xác định bởi (x,y) ~ (x,y), thì ta sẽ có được một dải Mobius. Đường chéo của hình vuông (những điểm (x,x) có hai tọa độ giống nhau) trở thành biên của dải Mobius, và mang một cấu trúc quỹ đạo đa tạp, trong đó hình học tương ứng với "ảnh phản xạ" - trắc địa (đường thẳng) trong dải Mobius phải chiếu ra khỏi mép sau vào trong dải. Về mặt ký hiệu, nó được viết là T2/S2 – thương 2 xuyến bởi các hoạt động nhóm của nhóm đối xứng trên hai ký tự (chuyển đổi tọa độ), và nó có thể được coi là không gian cấu hình của hai điểm bất kỳ trên vòng tròn, có thể là cùng (cạnh tương ứng với các điểm là như nhau), với các đường gờ tương ứng với hai điểm đặt trên vòng tròn.

Dải Mobius là đa tạp compact hai chiều (tức là một bề mặt) có biên. Nó là một ví dụ tiêu biểu của một bề mặt không định hướng. Trong thực tế, dải Mobius là hình ảnh thu nhỏ của hiện tượng topo của sự không định hướng. Điều này là do:

• Hình dạng hai chiều (bề mặt) là những hình ít chiều nhất nên dễ hiểu là không thể định hướng được
• Dải Mobius là bề mặt duy nhất có topology với mọi tập con của tất cả các bề mặt không định hướng.

Dải Mobius cũng là một ví dụ điển hình được sử dụng để minh họa cho khái niệm toán học của không gian phân thớ chính. Cụ thể, đó là một bó không tầm thường trong hình tròn S1 với một sợi là chu kỳ đơn vị, I = [0,1]. Chỉ cần nhìn vào cạnh của dải Mobius ta sẽ thấy 1 bó 2 điểm không tầm thường (hoặc Z2) quanh S1.

Đồ họa máy tính

Một cấu trúc đơn giản của dải Mobius có thể được tạo ra bởi phương pháp số hoá, bằng cách nối kết một tập các đoạn thẳng hay các trục đứng với nhau và xoắn đều theo một đường tròn hoặc elip.Theo Charles Joseph Matthews, dải Mobius được coi là mặt 3 chiều không có độ dày. Vì thế, khi có độ dày, nó sẽ trở thành dạng lăng trụ xoắn trong không gian 3 chiều.

Ngoài ra, còn có thể dùng mô hình sau để xây dựng một mặt Mobius tổng quát:

• Lấy một dải hình chữ nhật. Xoay nó xung quanh một điểm cố định không nằm trong mặt phẳng chứa nó. Tại mỗi bước, cũng xoay dải dọc theo một đường trong mặt phẳng của nó (đường thẳng chia đôi dải) và trực giao với bán kính quỹ đạo chính. Bề mặt được tạo ra như cách trên là dải Mobius.
• Lấy một dải Mobius và cắt nó dọc theo đường giữa của dải. Điều này sẽ tạo thành một dải mới, được tạo thành bằng cách thêm một hình chữ nhật vào dải cũ trong khi xoay cả đầu và đuôi của hình chữ nhật đó cùng lúc. Nếu lại cắt dải mới này theo đường giữa của nó 1 lần nữa, sẽ tạo thành 2 dải lồng vào nhau.